제 2회 수학 능력 시험 문제

모바일에서 TeX이 깨져서

오류 수정했습니다.

그래서 30분 연장합니다.

22시까지 답안을 받겠습니다.

현재 한 명도 보내지 않았습니다.

유의사항

1. 답안은 반드시 k2pa00@gmail.com으로 보내주시기 바랍니다.
2. 여기에서 말했듯이, 성적 상위 4명은 놀먹에 들어오실 수 있는 자격이 주어집니다.
   하지만 놀먹에 들어오지 않으셔도 상관이 없기 때문에
   답안에 "놀먹에 들어가겠다/들어가지 않겠다"를 명확히 해 주세요.
3. '선택 문항'에 해당되는 문제는 푼 문제들 중 가장 높은 득점을 맞은 문제만
   그 문제들의 전체 득점으로 처리됩니다. 예를 들어 선택 문항인 1번~4번에서
   그 중 가장 높은 득점을 가진 4번만 정확히 풀어도 만점을 받을 수 있습니다.
4. 정확한 채점 기준은 모든 답안지 회수 후 21시 30분 이후에 공개될 예정입니다.
5. 모든 문제는 중학교 과정 안에서 풀어야 합니다.
   그렇지 않을 경우 답에 해당하는 점수만 받으실 수 있습니다.
6. 모든 문제에서 정확한 풀이과정을 적어 주세요. 적지 않을 경우 감점이 있습니다.
7. 문제 이상이 있으시면 언제든 제 메일로
   해당 문제의 번호와 그렇게 생각한 이유를 보내 주세요.

배점

05점 | 1문제 | 01번

10점 | 3문제 | 02번 07번 09번

15점 | 2문제 | 03번

20점 | 1문제 | 10번

30점 | 1문제 | 05번 08번

40점 | 2문제 | 06번 11번

50점 | 1문제 | 04번

70점 | 1문제 | 12번

총 12문제, 예상 최대 득점 200점.
문제 옆의 대괄호 점수는 그 문제 혹은 문제들을 풀어서 받을 수 있는 최대 점수입니다.

	01~04 [선택 문항] 집합 \(S\)를 정수 \(a\), \(b\)에 대해 \(a^2 + b^2\) 꼴로 나타낼 수 있는 수들의 집합이라고 생각합시다. 예를 들어, \(53 = 2^2 + 7^2\)이므로 \(53 \in S\)이고, \(89 = 5^2 + 8^2\)이므로 \(89 \in S\)입니다. [50점]   01 \(S\)의 모든 원소들을 작은 순서대로 늘어놓았을 때 \(15\)번째에 오는 값을 구하세요. [5점]   02 \(x \in S\)이면 \(2x \in S\)임을 증명하세요. [10점]   03 \(k\)가 정수일 때 \(x = 4k + 3\)이라면 \(x \not \in S\)임을 증명하세요. [25점]   04 [50점]     01 \(x\)가 정수일 때 \(2x \in S\)이면 \(x \in S\)임을 증명하세요. [15점]     02 \(x \in S\)이고 \(y \in S\)이면 \(xy \in S\)임을 증명하세요. [35점] 05~06 [선택 문항] [40점]   05 ∠C가 직각인 삼각형 ABC가 있습니다. AC 위에 AD = 2DC인 점 D를 잡습니다. D에서 AB에 내린 수선의 발을 H라고 하고, BD와 CH의 교점을 P라 합니다. BD⊥CH일 때 BP : PD를 구하세요. [30점]   06 \(x^4+x^3+2x^2+2x+1=0\)의 실수해가 없음을 증명하세요. [40점] 07~08 바닥(floor) 함수는 실수 \(x\)보다 크지 않은 최대 정수로 정의되는 함수이며, 기호로 \(\left \lfloor x \right \rfloor\)을 사용합니다. [40점]   07 \(3\) 이상의 정수 \(a\)에 대해 \(x = a + \frac{1}{a}\)일 때, 다음 식을 \(a\)에 관한 다항식으로 간단히 하세요. [10점]       \[\left \lfloor x + x \left \lfloor x + x \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor \right \rfloor\]   08 \(\left \lfloor x \right \rfloor\)는 \(a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_0\) (단, \(a_0, a_1, \cdots, a_n\)은 모두 상수)의 꼴로 나타낼 수 없음을 증명하세요. [30점] 09~12 [선택 문항] 각 문제의 조건에 맞는 정수 \(x\)를 구하세요. 만약 여러 개라면 모두 구하세요. [70점]   09 [10점]       \[x^2 - 7x + 10 = 0\]   10 (\(\left \lfloor x \right \rfloor\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대 정수입니다.)[20점]       \[\frac{x}{2} - \left \lfloor \frac{x}{4} \right \rfloor = \frac{1}{2}\]   11 [40점]       \[x \sin {x}^{\circ} = 15\]   12 [70점]       \[x^3 + 3x^2 - 6x + 2 = 0\]