제 1회 수학 능력 시험 답

다음은 200점을 받는 풀이입니다.

1. 답 5점, 답이 틀리면 점수 없음.
  

2. 맞는 풀이 10점, 논리적 오류 5점 감점.
에서
  
이므로 성립.
임의의 자연수 에 대해
  
이 성립한다고 가정하면, 에서
  
이 성립한다. 따라서 준 식은 모든 자연수 에 대해 성립한다. QED

3. gcd(a, b) = gcd(b, a+b) 증명 10점, 포함 풀이 15점, 논리적 오류 5점 감점.
어떤 정수 와 가 있어 그 최대공약수를 라 하면,
  
이고 a/G, b/G는 정수이다.
그런데
  
에서 (a/G + b/G)가 정수이므로 와 는 공약수 를 갖는다.
이제 이 둘의 최대공약수를 이라 하면 은 의 배수이다. 그런데
  
에서 는 와 의 공약수이므로 는 의 배수이다.
은 의 배수이고 는 의 배수이면서 두 수 다 0보다 크므로
따라서 을 만족한다.
모든 자연수 에 대해서
그런데 이므로 준 명제는 성립한다. QED

4 (1). 수렴 증명 5점, 풀이 과정 5점, 답 5점(황금비도 정답으로 인정).
모든 에 대해
  
이 성립하므로 준 식은 수렴한다. 다음
  
이 성립하므로, 에서
  
인데 이므로
  

4 (2). 풀이 25점, 논리적 오류 5점 감점, 답 10점.
이곳 참조. 제 설명보다 잘 쓰여 있는 것 같네요.

5. 답 10점, 풀이 20점, 금지된 풀이 25점 감점, 논리적 오류 5점 감점.

(그림 참고, AE = DE = AD) ∠DAE = 60°이므로 ∠BAE = 80° AE = AD = BC, AB는 공통, ∠BAE = ∠ABC이므로 △BAE ≡ △ABC(SAS 합동) 따라서 △BAE도 이등변삼각형, BA = BE △DAE는 정삼각형이므로 DA = DE BD는 공통 따라서 △BAD ≡ △BED (SSS 합동) 그런데 △BAE ≡ △ABC에서 ∠BAC = ∠ABE이므로 ∠ABE = 20°, △BAD ≡ △BED에서 ∠ABD = ∠EBD인데 ∠ABE = ∠ABD + ∠EBD = 2∠ABD = 20°이므로 ∠ABD = 10° 따라서 ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 80° - 10° = 70°

6. 답 15점, 풀이 25점, 금지된 풀이 35점 감점, 논리적 오류 5점 감점.

Note) sin x의 미분을 사용하신 경우, sin x의 미분을 준 식이 1이라는 것에서 유도하기 때문에 "논리적 오류"로 판단하여 5점 감점됩니다. 로피탈의 법칙은 35점 감점이고, 매클로린 급수, 미분의 정의 등등 5점 감점입니다.

OA = \(r\), 각 AOB를 \(\theta\)라고 하면 AB는   \[2r\sin\frac{\theta}{2}\] 이다. 이러한 조각이   \[\frac{2\pi}{\theta}\] 개 있으면 각 AB의 길이의 합은 \(\theta\)가 +0에 수렴할수록 원의 둘레에 가까워진다. 따라서 이렇게 쓸 수 있다. \[\lim_{\theta\rightarrow +0}\left({\frac{2\pi}{\theta}\cdot2r\sin{\frac{\theta}{2}}} \right )=2\pi r\\ 2\pi r\lim_{\theta\rightarrow +0}\left({\frac{2}{\theta}\sin{\frac{\theta}{2}}} \right )=2\pi r\\ \therefore \lim_{\theta\rightarrow +0}{\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}}=1\] \(\frac{\theta}{2}\)에 \(x\)를 대입하면   \[\lim_{x\rightarrow +0}{\frac{\sin x}{x}}=1\] 그런데 \[\lim_{x\rightarrow -0}{\frac{\sin x}{x}}=\lim_{y\rightarrow +0}\frac{\sin (-y)}{-y}=\lim_{y\rightarrow +0}\frac{-\sin y}{-y}=1\](y = -x) 이므로 준 식은 성립한다. QED

7. 조건부 서술 5점, 관한 식으로 표현 5점, 답 5점, 논리적 오류 5점 감점.

에서 준 식은

  

에서 준 식은
  
에서 준 식은
  
따라서 이를 에 관한 식으로 맞추면
  

8. 답 25점, 답이 조건을 만족하지 못하면 25점 감점, 절댓값 사용시 5점 감점.
  

9. 답 10점, 답이 틀리면 점수 없음.
  

10. 삼각함수 합성 10점, 범위 5점, 답 5점, 논리적 오류 5점 감점.
  이므로 
의 모든 해가 의 모든 해에 포함되므로
  
범위를 확인하여 x를 구하면
  

11. 미분 15점, x가 0이 아님 15점, 답 10점, 논리적 오류 5점 감점.
안쪽 식을 미분하면
  
대입하면
  
은 존재하지 않으므로
  
따라서 양변에 자연로그를 취하고 x를 나누면
  
따라서

12. 범위 30점, 치환 30점, 답 10점, 논리적 오류 5점 감점.
Note) 근삿값을 구하는 것은 0점 처리되었습니다. 범위를 구하지 않고 치환부터 한 다음 근이 3개 존재해서 더 이상의 해를 구하지 않는 풀이는 범위를 구하지 않았다 하더라도 옳은 풀이이므로 70점 만점 처리됩니다.
로 잡고 미분하면 이는 에서
0보다 크므로 가 아닌 모든 x에서 증가함수이다.
그런데 에서 이고, 에서 이므로
해는 에 있다.
로 치환하고 준 식을 -2로 나눈 다음 상수항을 이항하면
  
방정식을 풀어 해를 구하면