제 2회 수학 능력 시험 답

이번 회 답안에서는 문제 분석과
각 문제에서 가장 높은 배점을 받은 응시자의 풀이
(만약 없다면 모범 풀이)를 올리도록 하겠습니다.

1. 답 5점, 답이 틀리면 점수 없음.
단순히 문제 이해만 하고 열심히 계산해주면 됩니다.
제가 생각했던 모범 풀이보다 좋은 풀이가 있어 올립니다.
mk34252@naver.com의 풀이입니다.

0+0=0

0+1=1
1+1=2

0+4=4
1+4=5
4+4=8

0+9=9
1+9=10
4+9=13
9+9=18

0+16=16
1+16=17
4+16=20
9+16=25
16+16=32

0+25=25
1+25=26
4+25=29
...

이를 순서대로 늘어놓으면 0-1-2-4-5-8-9-10-13-16-17-18-20-25-26

(5/5)

2. 맞는 풀이 10점, 논리적 오류 5점 감점.
단순한 인수분해 발상을 할 수 있느냐를 묻는 문제입니다.
kawaii.fourier@gmail.com의 풀이입니다.

\(x=a^2+b^2\)(\(a\), \(b\)는 정수)로 표시하면 \(2x = 2a^2 + 2b^2 = (a+b)^2 + (a-b)^2 \in S\)이다.

(10/10)

3. 맞는 풀이 25점, 논리적 오류 5점 감점.
귀류법을 이용할 수 있는가를 묻는 문제입니다.
모범 풀이입니다.

어떤 \(x \in S\)이 \(4k+3\)(\(k\)는 정수)꼴로 쓸 수 있다고 가정하고 모순을 이끈다.
우선 제곱수를 4로 나누었을 때 나머지를 알아보자. 정수 \(a\)에 대해 \(a^2\)은
i) \(a = 4m \Rightarrow a^{2}=16m^{2} = 4 \cdot 4m^{2}\)
ii) \(a = 4m + 1 \Rightarrow a^{2}=16m^{2}+8m+1 = 4(4m^{2}+2m)+1\)
iii) \(a = 4m + 2 = 2(m + 1) \Rightarrow a^{2} = 4(m+1)^{2}\)
iv) \(a = 4m + 3 \Rightarrow a^{2} = 16m^{2} + 24m + 9 = 4(4m^{2} + 6m + 2) + 1\)
(단, \(m\)은 정수)
따라서 제곱수는 항상 4로 나눈 나머지가 0 또는 1이다.
그렇다면 제곱수 두 개를 더해서 4로 나눈 나머지가 3,
다시 말해 \(4k + 3\) 꼴을 만드는 것은 불가능하다.
따라서 모순이 유도되고, 준 명제는 성립한다.

Note) 대우 자체의 내용은 중등 2년 과정이나, 어떤 명제가 참이면 대우도 참이라는 내용은 개정 전 고등 1년에 진리집합을 배우면서 증명됩니다. 따라서, 이 성질을 이용하신 분은 부득이하게 감점(15점) 처리했습니다.

4 (1). 맞는 풀이 15점, 논리적 오류 5점 감점.
2번 문제의 역의 강한 형태입니다. 홀짝성의 성질을 알고 있느냐를 묻는 문제입니다.
kawaii.fourier@gmail.com의 풀이입니다.

\(2x = a^{2} + b^{2}\)가 짝수이므로 \(a\), \(b\)가 모두 짝수이거나, 모두 홀수이다.
따라서 그 합과 차는 항상 짝수이다.
그러므로, \(x = \frac{a^{2}+b^{2}}{2}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} + \left(\frac{a-b}{2}\right)^{2} \in S\)이다.

4 (2). 풀이 35점, 논리적 오류 5점 감점.
복잡한 수준의 인수분해를 원하는 꼴로 할 수 있는가를 묻는 문제입니다.
모범 풀이입니다.

\(x=a^{2} + b^{2}\), \(y=c^{2}+d^{2}\) (\(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 정수)라고 하면,
\(xy = (a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}) = (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2\)
\(= (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 + (ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2\)
\(= (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 \in S\)이다.

준비중입니다.